## 数列与递推：从秩序到混沌 ### 一、等差数列 **定义：** $a_{n+1} = a_n + d$（公差为 $d$） **通项公式：** $a_n = a_1 + (n-1)d$ **前 $n$ 项和：** $S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)$ **例：** $2, 5, 8, 11, 14, \ldots$ → $a_1 = 2, d = 3$ - $a_{100} = 2 + 99 \times 3 = 299$ - $S_{100} = \frac{100}{2}(2 + 299) = 15050$ ### 二、等比数列 **定义：** $a_{n+1} = a_n \cdot r$（公比为 $r$） **通项公式：** $a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$ **前 $n$ 项和：** $S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r}$（$r \neq 1$） **无穷级数（$|r| < 1$）：** $S_{\infty} = \frac{a_1}{1 - r}$ **例：** $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots = \frac{1/2}{1 - 1/2} = 1$ ### 三、递推关系不是所有数列都有简单的通项公式。**递推关系**定义了"下一项如何从前面的项计算出来"。 **斐波那契数列：** $$F_1 = 1, \quad F_2 = 1, \quad F_{n+1} = F_n + F_{n-1}$$ $$1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, \ldots$$ 有趣的性质：相邻项之比趋向黄金比例 $\phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1.618$ ### 四、逻辑斯蒂映射：混沌的入口 🌀 这是本课最激动人心的部分——一个**极其简单的递推公式**如何产生**无比复杂的行为**。 **逻辑斯蒂映射（Logistic Map）：** $$x_{n+1} = r \cdot x_n(1 - x_n)$$ 其中 $x_n \in [0, 1]$ 表示种群密度，$r$ 是增长率参数。 **不同 $r$ 值的行为：** | $r$ 的范围 | 行为 | 描述 | |-----------|------|------| | $0 < r < 1$ | 灭绝 | $x_n \to 0$ | | $1 < r < 3$ | 稳定 | 收敛到固定点 $x^* = 1 - 1/r$ | | $3 < r < 3.449$ | 2-周期 | 在两个值之间交替 | | $3.449 < r < 3.544$ | 4-周期 | 在四个值之间交替 | | $3.544 < r < 3.570$ | 8, 16, 32... 周期 | 倍周期级联 | | $r > 3.570$ | **混沌** | 看似随机的行为！ | **试一试（$r = 3.9, x_0 = 0.5$）：** $$x_0 = 0.5$$ $$x_1 = 3.9 \times 0.5 \times 0.5 = 0.975$$ $$x_2 = 3.9 \times 0.975 \times 0.025 = 0.0951$$ $$x_3 = 3.9 \times 0.0951 \times 0.9049 = 0.3358$$ $$x_4 = 3.9 \times 0.3358 \times 0.6642 = 0.8698$$ $$\vdots$$ 看到了吗？值在 0 和 1 之间跳来跳去，**毫无规律**——这就是**确定性混沌**！ ### 五、混沌的关键特征 1. **对初始条件极度敏感**（蝴蝶效应）：$x_0 = 0.5$ 和 $x_0 = 0.500001$ 在多次迭代后的轨迹完全不同 2. **确定性但不可预测**：公式完全确定，但长期行为无法预测 3. **简单规则 → 复杂行为**：这正是复杂系统的核心特征 ### 练习题 1. 等比数列首项 $a_1 = 3$，公比 $r = 2$，求 $S_{10}$。 > 解：$S_{10} = 3 \cdot \frac{1 - 2^{10}}{1 - 2} = 3 \times 1023 = 3069$ 2. 斐波那契数列的第10项是多少？ > 解：$1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55$ → 第10项是 $55$ 3. 对逻辑斯蒂映射 $x_{n+1} = 2.5 x_n(1-x_n)$，从 $x_0 = 0.4$ 开始，计算前5项并观察是否趋向固定点。 > 提示：固定点 $x^* = 1 - 1/r = 1 - 1/2.5 = 0.6$

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数列与递推